megastudy

ทฤษฎีจำนวนจริง 

           ถ้าหากพูดถึงวิชาคณิตศาสตร์ ใครหลายคนมักนึกถึงการคำนวณ ไม่ว่าจะเป็นการบวก ลบ คูณ หาร นึกถึงตัวเลข ซึ่งนกอกเหนือจากการบวกลบคูณหารแล้ว ยังมีเรื่องเศษส่วน สมการ อสมการ เลขยกกำลัง เรขาคณิต อนุกรม ซึ่งในแต่ละเนื้อหาก็จะมีนิยามหรือทฤษฎีของตัวเอง วันนี้เราจะมาศึกษาเกี่ยวกับ ทฤษฎีของจำนวนจริงกัน

นิยาม

ให้ m และ n เป็นจำนวนเต็ม

โดยที่ n หาร m ลงตัว ก็ต่อเมื่อ มีจำนวน q ที่ทำให้ m = nq

เรียก n ว่าเป็น ตัวหาร ของ m และ

เรียก m ว่าเป็นพหุคูณ ของ n

จากนิยามดังกล่าว มีการใช้สัญลักษณ์ ดังนี้

n|m แทน n หาร m ลงตัว หรือ m หารด้วย n ลงตัว

n|/m แทน n หาร m ไม่ลงตัว หรือ m หารด้วย n ไม่ลงตัว

การหารลงตัว

 a|b หมายถึง "b หารด้วย a ลงตัว” หรือ "a หาร b ลงตัว”

 b/a= c โดยที่ c เป็นจำนวนเต็ม

สมบัติ

 ถ้า a|b และ b|c แล้ว a|c

ถ้า a และ b เป็นจำนวนเต็มบวก และ a|b แล้ว a≤b

ถ้า a, b, c เป็นจำนวนเต็ม โดย a|b และ a|c แล้ว a|(bx+cy) เมื่อ x, y เป็นจำนวนเต็มใด ๆ

การหารเหลือเศษ

 a/b= c เศษ d ⟶ a=b.c+d

 โดยที่ a, b, c, d เป็นจำนวนเต็ม และ 0 ≤ d < |b|

 คำแนะนำเพิ่มเติม :

 ถ้า a/b เหลือเศษเท่ากับ d แล้ว (m.a)/b เหลือเศษเท่ากับเศษเหลือของ (m.d)/b

ถ้า a/b เหลือเศษเท่ากับ d แล้ว am/b เหลือเศษเท่ากับเศษเหลือของ dm/b

 จำนวนเฉพาะ

 คือ จำนวนเต็มบวกที่มีแต่ 1, -1, ตัวเอง, จำนวนตรงข้ามตัวมันเอง เท่านั้นที่หารลงตัว (1 ไม่เป็นจำนวนเฉพาะ)

 จำนวนประกอบ

 คือ จำนวนเต็มบวกที่ไม่ใช่ 1 และไม่ใช่จำนวนเฉพาะ โดยสามารถเขียนจำนวนประกอบให้อยู่ในรูปจำนวนเฉพาะคูณกันได้

 หารร่วมมาก

 บทนิยาม : กำหนดให้ a,b เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นศูนย์ (อย่างน้อยที่สุดจำนวนใดจำนวนหนึ่งต้องไม่เป็นศูนย์)

แล้ว จะกล่าวว่า d ϵ I+ เป็นตัวหารร่วมมาก (Greatest Common Divisor : GCD) ของจำนวนเต็ม a,b ก็ต่อเมื่อ d เป็นจำนวนเต็มที่มากที่สุดที่ทำให้ d|a และ d|b

 หมายเหตุ

 ห.ร.ม. เป็นจำนวนเต็มบวกและไม่เป็นศูนย์

ใช้สัญลักษณ์ d = (a,b) เพื่อแสดงว่า d เป็น ห.ร.ม.ของ a และ b

(a,b) = (-a,b) = (a,-b) = (-a.-b) นั่นคือไม่ว่าเราจะหา ห.ร.ม.ของจำนวนเต็มบวกหรือลบย่อมมีค่าเท่ากัน

ถ้า a ไม่เป็นศูนย์แล้ว (a,0) = |a| นั่นคือ ห.ร.ม.ของจำนวนเต็มใด ๆ กับศูนย์ก็คือตัวมันเองที่เป็นบวกนั่นเอง

ตัวคูณร่วมน้อย

 นิยาม : ให้ a และ b เป็นจำนวนเต็ม โดยที่ a,b ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน จำนวนเต็มบวก c ที่น้อยที่สุดที่ทำให้ a|c และ b|c เรียกว่าเป็น ตัวคูณร่วมน้อย 

หรือ ค.ร.น. นั่นเอง

 หมายเหตุ :

 ค.ร.น.เป็นจำนวนเต็มบวกและไม่เป็นศูนย์

ใช้สัญลักษณ์ [a,b] =C เพื่อแสดงว่า c เป็น ค.ร.น. ของ a และ b

[a,b] = [a,-b]= [-a,b)= [-a,-b] นั่นคือไม่ว่าเรา

จะหา ค.ร.น.ของจำนวนเต็มบวกหรือลบย่อมมีค่าเท่ากัน

[0,a]=0​